La adición (página 2)

Partes: 1, 2, 3

n esto no nos
aclaramosmucho,yaquedebemospre-
cisarcómoesquesesuma,esdecir,có-
mo es que se llega a 41 partiendo de 15
y de 26. Para ello vamos a referirnos a
dos conjuntos, A y B. Supongamos que
A cuenta con 15 elementos y B con 26,
y que no comparten ningún elemento
encomún.Entérminosformalessedice

7
que el cardinal de A es 15, que el de B
es 26, y que los conjuntos A y B son
disjuntos. La suma de 15 más 26 expre-
sa el cardinal de la unión de los conjun-
tos A y B. Es decir, si se reúnen los ele-
mentos de A y de B en un solo conjunto
(el conjunto unión de A y B), éste
contarácon41elementos:41eslasuma
de 15 y 26.

Así que, para pensar en la suma de
dosnúmeros,debemosimaginarnosque
haydosconjuntos;queunodeellosposee
tantos elementos como lo indica uno de
los números; que el otro posee tantos
elementoscomoloindicaelotronúmero
a sumar; que no hay elementos compar-
tidosentreambosconjuntos;queseunen
los dos conjuntos en uno solo; y que se
cuentan los elementos de este nuevo
conjunto. El resultado de este conteo es
la suma de los dos números iniciales.

LA SUMA DE DOS NúMEROS NATURALES REPRE-
SENTA, PUES, EL CARDINAL DE LA UNIóN DE DOS
CONJUNTOS DISJUNTOS,EN EL SUPUESTO DE QUE
LOS DOS NúMEROS REPRESENTAN INICIALMENTE
–UNO CADA UNO– LOS CARDINALES DE LOS DOS
CONJUNTOS.

Insistimos: lo que va hasta aquí es
larespuestaformalalapreguntadequé
es la adición. Pero, afortunadamente,
ésta no es la única respuesta. Porque la
2. Situaciones de agregar, añadir…
algo a lo que ya existe.

Estassituacionessuelenvenircarac-
terizadas –en la interpretación verbal

+
adición también puede ser vista como
unmodelodesituacionesdelavidadia-
ria, o de situaciones lúdicas, o de otras
áreas del saber. En este sentido, la adi-
ción se convierte en una herramienta
que nos permite interpretar matemáti-
camente las situaciones que se pre-
sentan en nuestra vida.

¿Y cuáles, o de qué naturaleza, son
estassituacionesparalasquelaadición
puede presentarse como modelo?
Fundamentalmente, dos:

1. Situaciones de agrupar, reunir,
juntar… lo que aportan varios simul-
táneamente.

=

8
que de ellas hace el sujeto– por verbos
tales como recibir, agregar, ganar, reu-
nir, adquirir, obtener, acumular, guar-
dar… y otros similares. En estas cir-
cunstancias,laoperaciónaritméticade
laadiciónnosayudaallegaralresultado
de calcular el total de las cantidades re-
cibidas, agregadas, ganadas, reunidas,
etc.

EN RESUMEN,HAY DOS FORMAS DE CONSIDERAR
LA ADICIóN: COMO UN MODELO DE SITUACIONES
DE LA VIDA DIARIA Y COMO UN OBJETO DE ESTUDIO
FORMAL DENTRO DE LA MATEMáTICA (VERGNAUD,
1991;GADINO,1996).

Obsérvese que no hay contradicción
entre ambas formas de considerar la
suma, sino más bien complementarie-
dad. Basta ?jarse en que la situación de
juntar, reunir, se corresponde perfecta-
mente con el concepto formal de suma
comosede?nióanteriormente(formarla
unióndelosdosconjuntosycontarelnú-
merodesuselementos).Perosíconviene
resaltarqueenelprocesodeadquisición
delconcepto,delosprocedimientosyde
las destrezas propias de la suma, es
preferible entrar por la vía del modelo de
situaciones, y considerar el estudio for-
mal –con su lenguaje especí?co– como
una meta posterior.
Y justamente al tomar esa vía perci-
bimos que en las situaciones de reunir
o de agregar de las que es modelo la
adición, resulta imprescindible que los
elementos que se reúnen o agregan
sean de la misma naturaleza.

2. Numeradores
y denominadores
Másdeun(a)lector(a)avispado(a)se
estará preguntando: pero bueno, si
estamoshablandodesumadenúmeros
naturales, ¿para qué evocar aquí, de re-
pente, las fracciones? Si nos pica la cu-
riosidad, sigamos leyendo.

Cuandoenunambientematemático
–curso, taller, seminario, etc.– se pre-
gunta qué signi?ca “numerador”, habi-
tualmentesuelecontestarse:“elnúmero
que va en la parte superior de las frac-
ciones”. Y de una forma análoga se res-
pondeparaelcasodeltérmino“denomi-
nador”.Algunasrespuestasintentanser
un poco más precisas y se re?eren, por
ejemplo, al denominador como “el nú-
mero que expresa la cantidad de partes
igualesenquesehadivididolaunidad,
cuando se habla de las fracciones”.

Ahora bien, tratemos de responder a
estas otras preguntas: ¿Qué signi?ca
“conductor”?Sencillamente,elquecon-
duce.¿Y“extractor”?El–olo–queextrae.
¿“Animador”? El que anima. ¿“Relator”?
El que relata. Y así siguiendo.

Volvamos ahora a nuestros dos tér-
minos. ¿Qué signi?ca numerador? Lo
que numera, lo que sirve para numerar;
en particular, cada término o expresión
que se utiliza para numerar. Y denomi-
1

1
2

2
3

3
+

+
=

=
+
=
1
100
2
100
3
100

9
nador, lo que denomina o sirve para de-
nominar; y en particular, cada término
o expresión que se utiliza para deno-
minar.
Si repasamos ahora la gramática,
encontramos que existe una parte de la
oración que se refiere a los términos
utilizadosparanumerar:sonlosadjetivos
numerales (dos, cinco, etc.). Y otra que
se re?ere a los términos utilizados para
denominar o nombrar cualquier objeto o
entidad: son los sustantivos o nombres
comunes(casa,mesa,decena,manzana,
niña, kilo, metro, hora, etc.).

Deestaforma,cadavezqueennues-
tro hablar expresamos un adjetivo nu-
meral seguido de un sustantivo, esta-
mos utilizando un binomio numerador-
denominador. Así, en la locución “tres
sillas”, tres es el numerador; sillas, el
denominador. Análogamente, al hablar
de“cincocentenas”.Comopuedeapre-
ciarse, la aparición de los términos nu-
merador y denominador en el discurso
matemático no debe reservarse para el
momento en que se entra en el terreno
delasfracciones,sinojustamentedesde
que se mencionan cantidades referidas
a alguna entidad particular.

Estas precisiones tienen su aplica-
ción inmediata en el ámbito de la suma.
En efecto, si tengo 3 bananos, los puedo
sumar con otros 5 para llegar a un total
de 8 bananos. ¿Por qué puedo efectuar
esta suma? Porque en ambos casos
tenemos el mismo denominador: bana-
nos. En cambio, si tengo 3 bananos y 7
peras, no puedo realizar la suma inme-
diatamente. Pero nuestro(a) lector(a)
avispado(a) ya ha llegado a una res-
puesta: si reúno todo, tengo 10… frutas.
¿Por qué puedo dar esta nueva respues-
ta?Porqueheencontradoundenomina-
dor común para bananos y peras: frutas.

EN SITUACIONES CONCRETAS, SóLO SE PUEDEN
SUMAR CANTIDADES REFERIDAS A UN MISMO
DENOMINADOR. EN OTROS TéRMINOS, SóLO SE
PUEDEN SUMAR NUMERADORES REFERIDOS A UN
DENOMINADOR COMúN (Y NO ESTAMOS
HABLANDO SOLAMENTE DE FRACCIONES…).

Peronopodemosquedarnossólocon
lassituacionesconcretas.Lasumatam-
bién es un objeto de estudio matemáti-
co y, como tal, abstracto. Necesitamos
estudiar la suma en el terreno de lo abs-
tracto.Yelprimerpasohaciaeseterreno
consiste en prescindir de los objetos o
entidadesquesesuman,esdecir,delos
denominadores. Y así llegamos a las
expresionessimbólicasdelaadición.Por
ejemplo, 3 + 7 = 10, con sus símbolos
numéricos (numeradores) 3 y 7, y sus
signos de relación “más” e “igual”.

El uso adecuado de las expresiones
simbólicasrequieredominardosaspec-
tos:elconceptualyelprocedimental.El
dominio del aspecto conceptual signi-
?caentenderloqueestáexpresadoahí,
en los símbolos numéricos y en los sig-
nos de relación. Para nosotros los adul-
tos no hay mayor problema; todo esto
ya es parte de nuestra cultura básica.
Pero, para quienes están asimilando
estosconceptosporprimeravez,resulta
fundamentallareferenciaaloconcreto,
a situaciones concretas.
2
3
NO
+
=
+
=
2

FRUTAS
3

FRUTAS
5

FRUTAS

10
En otras palabras, quien empieza a
construirsusconocimientossobrelasu-
ma no puede entrar de una vez al terre-
no abstracto de lo simbólico; necesita
experimentar antes en el terreno de las
situaciones concretas –con numera-
dores y denominadores–. Sólo después
puedeaventurarseconlosnumeradores
aisladosdelosdenominadores,yconlas
expresiones simbólicas.

Y si experimenta dificultades de
comprensión en este terreno de lo sim-
bólico,resultainútilintentarresolverlas
en el mismo terreno: hay que regresar a
lo concreto, hay que agregar denomi-
nadores a los numeradores que se su-
man, pues sólo de esta manera se dota
de signi?cado a lo simbólico.

Decíamos más arriba que el uso
adecuado de las expresiones simbó-
licas requiere dominar también el as-
pecto procedimental. Debemos hablar,
pues, de los algoritmos de la suma, de
los procedimientos para sumar. Y en
este preciso momento, el sistema deci-
mal de numeración nos está pidiendo
permiso para entrar en escena. Ade-
lante.

3. Sumar en el sistema
decimal de numeración
Si no dispusiéramos de sistemas de
numeración,lasumaquedaríareducida
adoptarunnuevodenominador,modi?-
cando adecuadamente el numerador
dado. Así, 5 centenas puede conver-
tirse en:

50 decenas
500 unidades
5.000 décimas
0,5 unidades de mil
0,05 decenas de mil
0,0005 millones
etc.

De esta forma, siempre puede su-
marse cualquier conjunto de números,
con tal de que se reduzcan a un deno-
minadorcomún,elquesedeseeoelque
más convenga. En esta tarea, el cartel
de posición se convierte en un aliado
e?caz,sobretodoalcomienzodelapren-
dizaje.

Tomemos, por ejemplo, el ejercicio
propuesto al comienzo del Cuaderno:
¿Esposiblelasumade0,0157millones
y 26,83 decenas? Y de serlo, ¿en qué
unidades puedo dar el resultado? Lle-
vemos estos números al cartel de posi-
ción y coloquémoslos en las dos prime-
ras?las,reservandolaterceraparaelre-
sultado de la suma –resultado que,
intencionalmente, se escribirá sin nin-
guna coma–:
aunaoperacióndeapilamientoyconteo
de elementos. Pero el aporte funda-
mental de los sistemas –poder repre-
sentar numéricamente las cantidades–
resulta de vital importancia para operar
con números. Y más todavía si se trata
delsistemadecimaldenumeración,por
su transparencia interna.

Lo primero que debemos tomar en
cuenta es que todas las unidades de
los diversos órdenes –en virtud de la
“democracia” que reina dentro del sis-
tema decimal– tienen rango de “deno-
minadores”.Comodecíamosantes,po-
demos hablar de 5 centenas, 13 déci-
mas, etc. Por consiguiente, en princi-
pio sólo podemos sumar directamente
cantidades referidas a unidades del
mismo orden –de igual denominador–.
Así, 5 centenas + 12 centenas + 0,31
centenas nos da como resultado 17,31
centenas.

Por cierto, esta es la razón –mu-
chas veces silenciada– de por qué
suele sugerirse la norma de “ordena y
suma” cuando se trata de resolver su-
mas con los sumandos escritos verti-
calmente…

Afortunadamente, ya sabemos que
todo número puede tener múltiples lec-
turas, al poder referirse a cualquiera de
losórdenesdeunidadesdelsistemade-
cimal.Esdecir,cualquiernúmeropuede

11
PARTE DECIMAL
ORDEN Y NOMBRE DE LAS UNIDADES
PARTE ENTERA
ORDEN Y NOMBRE DE LAS UNIDADES
6
5
4
3
2
1
0
1
2
3
4
5
6
CENTéSIMA MILéSIMA
DIEZ- CIEN- MILLO-
MILéSIMA MILéSIMA NéSIMA
MILLóN CENTENA DECENA UNIDAD CENTENA DECENA UNIDAD
DE MIL DE MIL DE MIL
1 5 7
2
6 8
1 5 9 6 8
DéCIMA

3
3
Elresultadoadmitediversaslecturas
(diversosbinomiosnumerador-denomi-
nador):
0,0159683 millones
15,9683 unidades de mil
1.596,83 decenas
15.968,3 unidades
1.596.830 centésimas
(agregue alguno más…)

4. El asunto de la “llevada”
Un segundo aspecto en el que de-
bemos tomar en cuenta las caracterís-
ticas del sistema decimal de numera-
cióneseldela“llevada”,esdecir,cuan-
do la suma de dos dígitos correspon-
dientes al mismo orden de unidades
sobrepasa el valor de 9. Aquí entra en
juego el propio ser del sistema decimal,
yaquesuesenciaconsisteprecisamen-
te en que al llegar a tener 10 unidades
de un orden, estas se convierten en 1
unidad del orden inmediatamente su-
perior. Así, 10 decenas equivalen a 1
centena, 10 milésimas equivalen a 1
centésima, 10 centenas de mil equi-
valen a un millón, etc.

Esteprincipio,tanbásicoytansenci-
llo en su formulación, tarda en ser asimi-
lado y llevado a la práctica. Los errores
delosniños–ydealgunosadultos–alres-
pecto son frecuentes y, generalmente,
producto de un aprendizaje mecánico,
privado de signi?cado. Errores graves,
porcuantodenotanquenosecomprende
el funcionamiento del sistema decimal.

Lo peor del caso es que habitual-
mente se intenta corregirlos sobre el
propio esquema numérico escrito en
que se propone la suma

(por ejemplo: 467
793 + )

insistiendo en ?jarse en las sumas par-
ciales en las que hay “llevada”, ?jarse
en que hay que colocar un “1” sobre las
columnas a las que “se lleva”, etc., sin
percatarsedequeloserrorescometidos
al utilizar los esquemas simbólicos
–esquemas que son abstractos–, sólo
puedencorregirseretornandoalterreno
de lo concreto, que es donde se puede
alcanzar el signi?cado de la suma.

¿Cuálpuedeseresteterrenoconcre-
to en el que se respete la esencia del
sistema decimal? Puede ser el de los
billetesdedenominacióndecimal(1,10,
100, 1.000, 0,1, 0,01, etc.). Por ejemplo,
en el caso de la suma anterior, sumar
467 + 793 signi?ca, en primer lugar,
entender cada uno de los números: 467
es un número “complejo”, compuesto
por 4 centenas, 6 decenas y 7 unida-
des; y análogamente lo es 793.

Sumarambosnúmerossigni?caque
voy a recibir, primero, 4 billetes de 100,
6 de 10 y 7 de 1, y después, 7 billetes

12
de 100, 9 de 10 y 3 de 1. Agrupados por
“denominadores”, voy a disponer de 11
billetes de 100, 15 de 10 y 10 de 1. El
proceso de “ir al banco” para cambiar
billetesproducelossiguientesresultados:
Los10billetesde1seconviertenen1
de 10; no me queda ningún billete de 1 y
tengo 1 billete más de 10, con lo que el
número de éstos llega a 16. Llevados 10
de estos billetes al banco, se convierten
en 1 de 100; me quedan 6 de 10 y tengo
1billetemásde100,conloqueelnúmero
de éstos llega a 12. Finalmente, estos úl-
timosseconviertenen1billetede1.000,
al cambio de 10 de 100, y 2 sobrantes de
100.Al?naldelprocesodecambiostengo:
1 billete de 1.000, 2 de 100, 6 de 10 y
ninguno(0)de1.Lacomposicióndeestas
partes me lleva al número suma, 1.260.
Todo este proceso puede simbolizar-
se de la siguiente forma (UM, C, D y U
representan,respectivamente,Unidades
de Mil, Centenas, Decenas y Unidades):
UM C D U
4 6 7
7 9 3 +
1 0 UNIDADES (DE SUMAR 7 + 3)
1 5 DECENAS (DE SUMAR 6 + 9)
1 1 CENTENAS (DE SUMAR 4 + 7)
1 2 6 0

Pero obsérvese que esta suma, así
desglosada, puede realizarse en cual-
quier orden:
UM C
4
7
1 1
1
D U
6 7
9 3 +
CENTENAS (DE SUMAR 4 + 7)
5 DECENAS (DE SUMAR 6 + 9)
1 0 UNIDADES (DE SUMAR 7 + 3)
1
2 6 0
UM C
4
7
1
1 1
D U
6 7
9 3 +
5 DECENAS (DE SUMAR 6 + 9)
CENTENAS (DE SUMAR 4 + 7)
1 0 UNIDADES (DE SUMAR 7 + 3)
1
2 6 0
Demodoque–yrespondiendoauna
delaspreguntasinicialesdelCuaderno–
sí es posible sumar de izquierda a de-
recha (y después veremos su utilidad,
las circunstancias en que conviene su-
mar de este modo).
Pero lo que más importa resaltar,
siguiendo la línea del discurso anterior,
es que este recurso a lo concreto –bi-
lletes decimales– y a la diversidad de
los esquemas operativos simbólicos,
debe preceder al ejercicio de la suma
de números dispuestos en columna, tal
comoseproponehabitualmente.Ydebe
A
B
467
+
A
B
C
4

6
7
7

9
3
+
=
+

+
+
11

15
10
=
793

13
quedar ahí, disponible, para dotar de
signi?cado a dicho ejercicio cada vez
que el aprendiz presente di?cultades o
cometa errores en su realización.

2. EN LOS EJERCICIOS QUE SIGUEN,EFECTUARE-
MOS LA SUMA DE LOS RESPECTIVOS NúMEROS
AYB(ENTREPARéNTESIS,ELORDENDEUNIDA-
DES EN QUE FORMULAREMOS LA RESPUESTA):

A) A: 173 UNIDADES Y 48 MILéSIMAS
B:37 CENTENAS,907 DéCIMAS
Y 3 MILéSIMAS (EN DéCIMAS)
B)A:0,136 DECENAS DE MIL
B:68DECENASY2DéCIMAS(ENDECENAS)
C)A:356 DIEZMILéSIMAS
B: 39 DéCIMAS
Y 5 MILéSIMAS (EN UNIDADES)
D)A:1.003 CENTéSIMAS
B: 40,89 DéCIMAS (EN MILéSIMAS)
E)A:23 CENTENAS DE MIL,805 DECENAS
B: UN MILLóN Y 46 CENTENAS (EN
UNIDADES DE MIL)
3. UNA ENCICLOPEDIA ESTá COMPUESTA
DE TRES TOMOS QUE SE ALMACENAN EN
UN ESTANTE DE LA BIBLIOTECA DEL SIGUIEN-
TE MODO (LO QUE VEMOS SON LOS LOMOS
DE LOS LIBROS):

CADA TOMO CONTIENE 800 PáGINAS.
CADA HOJA TIENE UN ESPESOR DE 0,005
CM,Y CADA TAPA,DE 3 MM.UN COMEJéN
(UN GUSANITO COME-LIBROS) SE UBICA
ENTRE LA TAPA DELANTERA Y LA PáGINA 1
DEL TOMO 1,E INICIA DESDE AHí SU BAN-
QUETE ATRAVESANDO LOS TOMOS HASTA LA
úLTIMA PáGINA DEL TOMO 3. ¿CUáNTO
HABRá RECORRIDO AL ?NAL DE SU BANQUE-
TE? (RECUERDE QUE CADA 2 PáGINAS
CONSTITUYEN 1 HOJA).
D
E
5. El desarrollo
de destrezas para sumar
Todo lo expresado en los dos puntos
anteriores hace referencia a la conside-
ración de la suma en el ámbito del sis-
tema decimal de numeración. Su apli-
cación más inmediata se ubica en los
casos de suma escrita en la que los su-
mandos se colocan verticalmente. Pero
aquí no termina todo lo que se puede
decir acerca de esta operación aritmé-
tica. Podemos explorar, por ejemplo, el
terreno de la adquisición de destrezas
–no sólo de reglas– para sumar.

Para ello contamos con las propie-
dades de la adición, tan sabidas como
poco utilizadas:

1. Conmutativa: El orden en que se
consideran dos sumandos no modi?ca
su suma. Por ejemplo, sumar 5 a 8 ó
sumar8a5produceelmismoresultado.

2. Asociativa: Si hay más de dos su-
mandos,elordenprogresivoenque“en-
tran”enlasumaesindiferente:elresul-
tado siempre es el mismo. Por ejemplo,
si hay que sumar 15, 37 y 25, puede
hacerse en cualquier orden: 15 más 37
yluegomás25,ó37más25yluegomás
15, ó 25 más 15 y luego más 37 (mejor
de esta última manera, ¿no?), etc.

3. Disociativa (es decir, la misma
propiedad asociativa, pero al revés):
11

16
=
F
1

2

6
12

6

1.260

3 4 7 8 9
1
12
14
Todo sumando puede descomponerse
en partes o sumandos menores de la
forma que se quiera, siempre que su
“asociación” equivalga al sumando ini-
cial. Por ejemplo, si hay que sumar 117
y23,sefacilitalasumasi117sedisocia
(mentalmente, en la práctica) en 110 +
7, y 23 en 20 + 3, lo que permite un rea-
comodo en la suma: 117 + 23 = 110 + 20
+ (7 + 3) = 130 + 10 = 140.

4. Existencia de elemento neutro: Es
decir, el 0; cuando se suma a una can-
tidad, ésta no varía. Con lo cual se pue-
de romper la falsa creencia de que su-
mar dos números siempre produce un
resultadomayorqueambossumandos…

De lo anterior tiene que quedarnos
algobienclaro(yconestorespondemos
a otra de las preguntas iniciales del
Cuaderno): las propiedades de la suma
no son simplemente para aprenderlas
–porque forman parte de lo que hay que
saber–, sino sobre todo para utilizarlas.
Porque las propiedades están ahí para
facilitarnoslaoperacióndelasuma,para
darnosmayorlibertadalahoradesumar.

Estamos a las puertas del cálculo
mental (y de la estimación, como vere-
mosmástarde),quenoessimplemente
el cálculo que se hace “con la cabeza”
–es decir, sin papel ni lápiz pero visua-
lizando y simulando mentalmente el
mismoprocesodelasumaescrita–,sino
el cálculo que se hace utilizando las
propiedades de la suma.

Atención:
TODO LO QUE SE VA A DECIR AHORA NO ES SóLO
PARA ENTENDERLO. ES, SOBRE TODO, PARA PRAC-
TICARLO.PERO NO UN PAR DE VECES,Y YA.LA EJER-
CITACIóN FRECUENTE Y ABUNDANTE ES REQUISITO
INDISPENSABLE PARA DESARROLLAR DESTREZAS DE
CáLCULO MENTAL.Y ESTO ES MUY IMPORTANTE,
PORQUE, SI NO LAS POSEEMOS, NO PODREMOS
CONSTRUIRLAS CON NUESTROS ALUMNOS.

¿Por dónde puedo empezar la prác-
tica del cálculo mental, es decir, la ad-
quisición de las destrezas para sumar?
Por los dedos de las manos. En primer
lugar, puedo asociar cada número del 1
al 10 con un dedo especí?co. Para ello,
extiendo las manos (con las palmas ha-
ciaabajo)antemíynumeromentalmen-
te los dedos desde 1, empezando con el
meñique de la mano izquierda y termi-
nandoen10,conelmeñiquedelamano
derecha.
a 10. Al tocar un dedo de la mano de-
recha debo acostumbrarme a descom-
ponerloen5(todoslosdedosdelamano
izquierda) más el número complemen-
tario de dedos de la mano derecha. Así
(lo estoy visualizando), 9 equivale a 5
más 4. Si toco un dedo de la mano iz-
quierda, puedo ?jarme en cuántos de-
dosfaltanparacompletaresamano.Así
(y lo vuelvo a visualizar), a 1 le faltan 4
para llegar a 5. La práctica debe pasar
delofísicoalavisualizacióndelofísico,
y de aquí a lo mental. Obsérvese, de
paso, que estamos utilizando la propie-
dad disociativa…

Unavezquehayamosadquiridoesa
destreza, podemos pasar a la siguiente:
tocar un dedo y ver en ese toque dos
cosas:elnúmeroquecorrespondeaese
dedo y el número que corresponde a los
dedosquefaltanhasta10(todoslosque
se encuentran a su derecha). Si se trata
de un dedo de la mano derecha, es más
sencillo: si toco el dedo 7, faltan 3 para
llegar a 10.
Los dedos de la mano izquierda
“van” de 1 a 5, y los de la derecha, de 6

2
10
5 6
1
2 3 4
5 6
7 8 9
10
3

15
Si se trata de un dedo de la mano
izquierda,puedovercuántosfaltanpara
llegar al pulgar de esa mano (es decir,
hasta 5) y luego agregarle 5 por los
dedos de la mano derecha. Así, si toco
el dedo 2, faltan 3 para completar la
mano izquierda, y los 5 de la mano
derecha, es decir, 8 (8 pensado como 5
+ 3) dedos.
La idea orientadora de esta práctica
consiste en acostumbrarnos –si traba-
jamos con los dígitos del 1 al 9– a ver
con cada uno de ellos su complemento
a 10. Y esto, de una forma inmediata y
espontánea.

En de?nitiva, al tocar un dedo de la
mano izquierda tengo que:
•identi?carelnúmeroquelecorresponde,
• asociar el número que le falta para 5,
• asociar el número que le falta para 10.

Y al tocar uno de la mano derecha:
•identi?carelnúmeroquelecorresponde,
• disociar el número como 5 + …,
• asociar el número que le falta para 10.

En resumen, se trata de adquirir las
siguientes destrezas asociativas y diso-
ciativas(particularmente,estasúltimas):

1+4 = 5 2+3 = 5 3+2 = 5 4+1 = 5
1+9 = 10 2+8 = 10 3+7 = 10 4+6 = 10
5+5 = 10
5 = 1+4
6 = 5+1
10 = 9+1

10 = 4+6
5 = 2+3 5 = 3+2 5 = 4+1
7 = 5+2 8 = 5+3 9 = 5+4
10 = 8+2 10 = 7+3 10 = 6+4
10 = 5+5
10 = 3+7 10 = 2+8 10 = 1+9
Otra de las destrezas que es conve-
niente alcanzar temprano es la de los
dobles de los dígitos menores que 5.
Paraellopuedenjuntarselasdosmanos,
palma con palma y dedo con dedo, y
contar: si considero 1 dedo de cada
mano, tengo 2 dedos; si considero 2
dedos de cada mano, tengo 4 dedos; y
así sucesivamente.

EL DOBLE DE 1 ES 2; EL DE 2,4; EL DE 3,6; EL
DE 4,8; EL DE 5,10.

10 ES EL DOBLE DE 5; 8,EL DE 4; 6,EL DE 3;
4,EL DE 2; 2,EL DE 1.
1
2 3 4
1 2
5 6
1
3
Tomandocomobaselasdestrezasan-
teriores, podemos pasar a la situación de
sumar dos dígitos cualesquiera. Veamos
algunoscasos(enlapráctica,loscálculos
noseescriben,sinoqueserealizanmen-
talmente;aquílosescribimosparailustrar
la marcha del proceso mental).

Sumar 3 + 4 (dos dígitos menores
que 5). Podemos:
– disociar 4 en 3 +1; calcular el doble
de 3 (6) y sumar 1
– disociar 4 en 2 + 2; asociar 3 con 2
(5) y sumar 2
– disociar 3 en 2 +1; asociar 4 con 1
(5) y sumar 2
Sumar2+5(5yundígitomenorque
5). El resultado es inmediato: es una
destreza ya adquirida.

Sumar7+5(5yundígitomayorque
5). Podemos:
– disociar 7 en 2 + 5; asociar 5 con 5
(10) y sumar 2
– disociar 5 en 3 + 2; asociar 7 con 3
(10) y sumar 2

Sumar 8 + 6 (dos dígitos mayores
que 5). Podemos:
– disociar 6 en 2 + 4; asociar 8 con 2
(10) y sumar 4
– disociar 8 en 5 + 3 y 6 en 5 + 1;
asociar 5 con 5 (10) y sumar 3 + 1
– disociar 8 en 4 + 4; asociar 4 con 6
(10) y sumar 4
7 8 9
10
2 34 5

16
Sumar 9 + 9 (el doble de los dígitos
mayores que 5). Podemos:
– disociar 9 en 5 + 4 dos veces;
asociar 5 con 5 (10) y sumar
el doble de 4
– disociar un 9 en 1 + 8; asociar el
otro 9 con 1 (10) y sumar 8

Apartirdelaejercitacióndeestasdes-
trezas, y como resultado de las mismas,
podemos ahora (no antes) construir las
tablasdelasuma(elnúmeroencadaca-
sillaeslasumadelosdígitosqueencabe-
zan la columna y la ?la correspondientes
aesacasilla;porotrolado,cadacolumna,
ocada?la,eslatabladesumarcorrespon-
diente al dígito que la encabeza):

Estastablasdebenllegaraserapren-
didas de memoria, porque este es el
modoadultodemanejarlas.Peroestono
signi?ca que aprenderlas de memoria
sea el punto de partida; más bien es el
puntodellegada.Elpuntodepartidaes-
táenlaadquisicióndelasdestrezasque,
medianteconmutaciones,asociaciones,
disociacionesyotraspropiedadesdelos
sumandos, nos permiten llegar a los
resultados mentalmente.

Estas destrezas, además, no deben
perderseauncuandoselleguenadomi-
narlastablasdememoria.Ynosólopor-
que pueden auxiliarnos en un instante
de duda u olvido momentáneo, sino so-
bre todo porque poseen un gran valor
matemático intrínseco, por lo que su-
ponendedominiodelaspropiedadesde
la suma (Mialaret, 1977).

Incluso, antes de
aprenderlasde memoria,
todavía podemos sacar-
les mucho jugo a estas
tablas observando y des-
tacando las regularida-
des que se hallan pre-
sentes. Una muy intere-
sante es ver, en sus ca-
sillasinteriores,cómolos
números se repiten “dia-
gonalmente” (de la parte
superior hacia la inferior
y, a la vez, de derecha a
izquierda). Esto nos ayuda a resaltar la
propiedad disociativa de la suma. Por
ejemplo, observamos cómo el 8 puede
desglosarse en la suma de 0 y 8, de 1 y
7, de 2 y 6, etc., y así en los demás
casos.

También podemos observar que la
diagonal principal –la que se inicia en
la parte superior izquierda con el 0 y
llega a la parte inferior derecha con el
18– contiene los dobles de los dígitos.
Igualmente, que esa diagonal funciona
como un eje de simetría para los núme-
ros que se ubican a sus lados. Es decir,
que si la tabla total fuera exactamente
cuadrada y se doblara por esa diagonal,
losnúmerosdelascasillasdeunadelas
caras dobladas “caerían” exactamente
sobre los mismos números de la otra
cara doblada –por ejemplo, el 13 de 8 +
5 coincidiría con el 13 de 5 + 8–. Esta
situación expresa grá?camente la pro-
piedad conmutativa de la suma.

Otra observación –aparentemente
tonta,peroqueenalgúnmomentopue-
de tener su interés– es percibir que la
suma de dos dígitos nunca llega a 20 y
que, por consiguiente, cuando se trata
dedossumandos,las“llevadas”nopue-
den ser mayores que 1.

Hemoshabladodedestrezasutiliza-
bles a la hora de sumar dígitos. No está
demásdecirque,puestoquehablamos
dedígitos,estasdestrezaspuedenapli-
carsealcasodelasumadelasunidades,
de las decenas, de las centésimas, etc.,
es decir, de las unidades de cualquiera